您当前的位置: 首页 > 《小学数学教育》  下半月刊
线段是轴对称图形吗?──兼谈“轴对称图形”的教学
作者:盐城市登瀛小学 卞恩鸿  录入时间:2015-1-30  阅读次数:908

网友田平在QQ上问我:“请问,线段是轴对称图形吗?”

我一愣,回答:“怎么问起这个问题?应该是吧!”我不敢肯定的回复,源于简单问题有人问。

随即,我问办公室同事同样的问题,他们也都是迟疑了一下,开始上网搜索。

我同时在网上搜索到:“线段是轴对称图形,它有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。”

 “线段是轴对称图形”我可以理解,因为一条对称轴明显是这条线段的中垂线。经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector),简称“中垂线”。但是,“线段的一条对称轴是这条线段所在的直线”,大家不好理解。

继续探究,“为什么线段是轴对称图形呢?”原来,任何一个处于三维空间中的图形都是由两部分构成:即有形的点阵部分和无形的空白部分。对称轴是一条虚拟的直线,它让对称图形沿着它对折后能重合,这个重合其实由三部分组成:(1)对称轴以外的有形点阵部分重合;(2)对称轴以外的无形空白部分(这是我们默认的,经常不考虑);(3)对称轴这条直线上的部分不对折,也无法对折(极限的理论中,我们无法得出最小,例如 cm。我们认为直线没有宽度,其实只是宽度无限小的的一种说法)。

根据上面的解释,我们可以接受“线段的一条对称轴是这条线段所在的直线”。

有教师认为,“线段没有对称轴”。理由是“点、线是构成平面图形的元素,因此点、线是几何图形,但不是平面图形,而教材中的‘轴对称’一开始就是在平面图形中学习的,自然而然‘线段就没有对称轴’了” 。对于这位教师的说法,我们要澄清两点:其一,“点、线是构成平面图形的元素”,但不影响“点和线段是平面图形”这个说法。如果构成图形的所有点都在同一平面内,这个图形叫作平面图形。对于“点”来说,构成它的点尽管只有一个,但都在同一个平面,所以它是平面图形。对于“线段”,构成它的点都在一条直线上,也在一个平面内,所以也是平面图形。比如,“1”是自然数的单位,“1”又是自然数中的一分子,但是最小的自然数是“0”。这些并不矛盾。其二,几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线,就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何的内容自然地过渡到了三维空间的立体几何。立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴,从而研究二次曲面(如球面,椭球面、锥面、双曲面,鞍面)的几何分类问题,归结为研究代数学中二次型的不变量问题。“几何图形”与“平面图形”是包容关系,“几何图形”分为“平面几何图形”“立体几何图形”,“平面图形”实际上就是“平面几何图形”。

一、需要厘清的问题

小学教学轴对称图形时,课堂上必须认识清楚以下一些概念:(1)欧几里得的《几何原本》里,直线line)是它上面的点一样地平放着的线。直线,是一个点在平面空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹;不弯曲的线。直线是几何学的基本概念,在不同的几何学体系中有着不同的描述。在日常生活当中,一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象,而数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。(2)在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线ray射线有一个端点,无法测量。几何学中的射线,我们通常形象地把它看作是手电筒发出的光线。3线段(segment)技术制图中的一般规定术语,是指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线,如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。数学中的定义,线段是指直线上两个点和它们之间的部分,这两个点叫作线段的端点。用直尺把两点连接起来,就得到一条线段。连接两点间线段的长度叫作这两点间的距离。线段有两个端点,可以测量。4)图形是由点、线、面构成的,图形可分为立体图形和平面图形。平面图形是组成平面图形的元素(点、线)都在同一平面内。立体图形,顾名思义,组成立体图形的元素(点、线、面)在不同的平面内,它们具有一定的长度、宽度和厚度,能占据一定的空间。长方形、圆、三角形都是平面图形。5)轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线就叫作对称轴。比如,圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等,都是轴对称图形。对称轴用点画线表示,即一条短线、一个圆点,一条短线、一个圆点……。学生经常出现下面的错误判断“角和等腰三角形都是轴对称图形,其对称轴分别是角平分线和等腰三角形底边上的高”。这都是由于不能正确把握对称轴的本质造成的。

小学教学轴对称图形时,课堂上必须搞清以下一些概念间的关系:(1点动成线,线动成面。“点”是组成“线”的基本元素;点、线是组成平面图形的元素。2)线段是直线上两点间的部分,射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分。若射线向反向延长,或线段向两方延长,都可以得到直线,若线段向一方延长可得射线,在直线上取两点可以得到一条线段,取一点可以得到两条射线。线段、射线都是直线的一部分。3)轴对称图形肯定是平面图形,而平面图形不一定是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴。圆有无数条对称轴,都是经过圆心的直线。

根据轴对称图形的定义及射线、直线与线段的关系,亦可推出:(1)射线是轴对称图形,它的对称轴就是射线本身所在的直线,只有一条。(2)直线是轴对称图形,它有无数条对称轴,一条是直线本身,另外是过直线上任意一点作的垂线。

二、教学策略

苏教版小学数学教材安排三年级下册和四年级下册认识轴对称图形,教学目标分为两个阶段:三年级认识轴对称图形,四年级画轴对称图形的对称轴。

“轴对称图形”如何教学呢?注意从实际生活中选取素材和现代信息技术的应用,加强实验操作教学和学生推理能力的培养,提供个性化的学习空间,满足学生多样化的学习需求,通过合作交流的学习方式达成教学目标。

生活素材,认识图形。一是设情境,激兴趣。教师通过《唱脸谱》这首歌,让学生了解“脸谱”。从学生感兴趣的事物着手,激发学生认识新知识的愿望,并把数学教学和相关历史文化相结合,使枯燥乏味的数学教学显得形象生动。二是“识”对称,悟特征。教师引导学生进行观察、比较长方形和正方形,概括、抽象出这类平面图形的特点:左右两边都相同,左右两边形状是一样的,面积也是一样的,把它叠在一起,会重合。然后给出轴对称图形的定义。通过寻找生活中的轴对称图形,引导学生了解判断轴对称图形的方法。三是“赏”对称,扩视野。教师通过引导学生对中外建筑物和剪纸的欣赏,感受美,使学生能感知现实世界中普遍存在轴对称现象,学会欣赏数学美,体验数学的价值,激发学生对数学学习的积极情感。

动手实践,做出图形。为了让学生加深对轴对称图形特征的认识,变“学”数学为“做”数学,教学中教师引导学生掌握“折、剪、画”和“在钉子板上拉”等方法,鼓励学生用灵巧的双手做出一个轴对称图形,让学生运用所学的知识来进行创造。学生不仅可以提高动手实践能力,还可以获得积极的情感体验。

理性思考,推理论证。学生在认识轴对称图形开始阶段容易出现错误,为什么呢?主要原因在于学生都是通过动手操作来感受轴对称图形的。这就出现一个问题:动手操作能否代替理性思考?答案是不能。教师可以通过判断“平行四边形是不是轴对称图形”来引领学生进行理性思考。比如,引导学生思考:平行四边形沿着对角线剪开,得到的两个三角形的形状有什么特点?形状相同的两个三角形,通过旋转能不能重合?除了形状相同以外,方向还有什么要求?等等。以此来加强对学生推理能力的培养。

实验操作,画对称轴。学生已经知道什么是轴对称图形以及轴对称图形的对称轴,还知道长方形、正方形都是轴对称图形。以此作为教学的起点,以折和画为学习活动,认识轴对称图形的对称轴,让学生用一张长方形纸折一折,画出它的对称轴。通过折和画再次体会什么是对称轴以及它的位置。两次安排学生画长方形的对称轴:第一次沿着自己对折的长方形纸的折痕画,只画出1条对称轴;第二次在长方形上画,要画出2条对称轴。这样循序渐进地安排,有利于学生认识轴对称图形及对称轴。教学时要注意两点:一是引导学生体会对称轴的含义,它是对折轴对称图形折痕所在的直线;二是讲明对称轴一般画成点划线,即一条短线、一个圆点,一条短线、一个圆点……

小学数学教学“轴对称图形”时,不要求学生掌握“中心对称图形”和“中心对称”,但是,教师需要掌握并可在课堂教学中进行渗透。

 参考文献:

[1]张奠宙,孔凡哲,黄建弘,黄荣良,唐釆斌.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009

[2]张维忠.文化视野中的数学与数学教育[M].北京:人民教育出版社,2005

[3]徐建.平行四边形为什么不是轴对称图形[J].教学与管理·小学版,20147

下一篇文章:“列举”策略的教材比较与分析       
 
设为首页加入收藏联系我们版权说明
版权:南京东方数学教育科学研究所版权所有 建议浏览器使用1024×768分辨率 技术支持:南京奇奕科技有限责任公司
网站ICP备案编号: 苏ICP备05026912号