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基本数学活动经验的教育价值与教学策略──以“平面图形的面积计算”的教学为例
作者:海安县明道小学 王玉东  录入时间:2015-1-30  阅读次数:1463
 

 

基本数学活动经验和基础知识、基本技能、基本数学思想具有各自的内涵,但相互间又有密切的联系。基本数学活动经验是基础知识和基本技能的起点和源头,基本数学思想是基本活动经验的凝炼和升华。如果将学生的数学素养比喻成一个长方体的话,基础知识和基本技能决定了长方体水平方向的两个维度,关涉到数学学习的宽度;基本数学思想决定了长方体垂直方向的一个维度,关涉到数学学习的深度;基本活动经验则是填充在这三个维度之间的活性物质,关涉到数学学习的效度。

一、积累基本数学活动经验的价值分析

在小学阶段帮助学生积累数学基本活动经验,具有什么教育价值呢?其一,有助于数学从学术形态向教育形态转变。在数学教学中,教师只有依托学生的基本活动经验,打破数学知识的形式化链条,重现数学知识发生、发展的过程,才能化“冰冷的美丽”为“火热的思考”,促进学生对于数学的“再创造”。其二,有助于教学从传授知识向催生智慧转变。史宁中认为“智慧并不表现在经验的结果上,也不表现在思考的结果上,而表现在经验的过程,表现在思考的过程中”。而过程的充分展开,得益于学生经验的充分积累。教学中,教师只有借助探究活动,唤醒学生已有的经验,让知识在经验之根上自然生长,学生才能获得意义,才能增长智慧,而不仅仅是一些“支离破碎的知识”。

二、帮助学生积累基本活动经验的策略探寻

美国数学教育家戴维斯认为,数学经验是建构、理解、运用数学理论的经验,数学经验是在创造与发现数学概念和数学理论的活动中、理解数学逻辑性的过程中、解决问题的过程中获得的。根据“平面图形的面积计算”学习的不同阶段,教师可以从三个层面来帮助学生积累基本活动经验:在面积计算方法的形成中积累抽象的经验,在面积计算方法的发展中积累推理的经验,在面积计算方法的运用中积累应用的经验。这三种经验既有一定的阶段性,又有一定的连续性;既各自独立,又相互渗透。

(一)在面积计算方法的形成中积累抽象的经验

有人说:智慧生长在手指尖上,“动手做”无疑对于数学学习具有重要的意义。但是如果仅仅将数学学习停留在做的层次,那么学生与操作工并没有什么两样。因此,更为重要的是,学生要以做为基点,不断抽象和概括,获得数学的本质:数量关系和图形关系。只有经历这样一个从现象到本质,从感性到理性的抽象过程,学生才能积累富有数学特质的活动经验。

【案例1】《长方形的面积计算》方法发现

在学生操作、探究的基础上,有层次地交流数长方形面积的方法:(1)用学具盒里的透明方格纸盖在长方形上面,然后数一数,共有12个边长为1厘米的小正方形,面积是12平方厘米;(2)用1平方厘米的小正方形在长方形中摆,每排摆4个,摆3排,面积是12平方厘米;(3)用1平方厘米的小正方形摆,摆一行一列,推算出长方形的面积;(4)量出长方形的长和宽,想象沿着长和宽分别摆1平方厘米的小正方形的个数,发现长方形面积与长和宽的关系。进而,猜想验证,归纳长方形的面积计算公式以及字母表达式。

上述案例中,教师引领学生经历了长方形面积计算方法抽象概括的全过程。首先是借助于透明方格纸和面积为1平方厘米的小正方形布满长方形,这基于学生的操作经验,停留在直观层面;其次,学生依托半直观半抽象的一行一列的图形,展开想象,发现长方形的面积与行列数之间的关系;第三,化面为线,仅仅借助于长和宽的长度,推想计算出长方形的面积;最后,猜想验证,归纳出长方形面积计算的方法,完成数学建模。这一过程经历了布鲁纳所谓的教学三阶段:首先应从直接经验入手(动作表征),然后是经验的映像性表象(表象表征),再过渡到经验的符号性表象(符号表征)。

(二)在面积计算方法的发展中积累推理的经验

如果说抽象的经验促进了学生“横向数学化”的话,推理的经验则促进了学生“纵向数学化”。刘徽说:“事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干支发其一端而已。”唯有推理,才能看清知识的发展脉络和相互关联。因此,在数学教学中,教师要引领学生弄清知识的来龙去脉,讲究分析的有理有据,帮助学生积累推理的经验。我国数学家关肇直先生说,如果忽视推理能力的培养,“学生不懂逻辑推理为何物,将来在实际工作中,会养成一种坏习惯,单凭一些不可靠的直觉或片面不完整的经验武断地提出一些自以为是的结论来,这样来从事科学工作,是与严肃性、严格性、严密性的要求是不相符的,是非常有害的”。

【案例2】《平行四边形的面积计算》推导过程

猜想:根据长方形面积计算公式,想一想平行四边形的面积和什么有关?通过调节活动的平行四边形木框,发现平行四边形的面积与相邻两边没有关系;通过数方格发现平行四边形的面积和它的底和高有关。  

思考:平行四边形的面积和它的底和高有什么关系?画不同形状的等底等高的平行四边形,通过数方格发现:平行四边形的面积=底×高。

追问:平行四边形的面积为什么与它的底和高有关?将平行四边形纸片沿着高剪拼成和它面积相等的长方形,发现平行四边形的底和高与长方形的长和宽之间的对应关系。

上述教学环节中,教师基于三个核心问题,让学生经历了从长方形到平行四边形面积计算方法推导的过程。首先,借助于类比、反证寻找与平行四边形面积相关的要素;其次,依托探究长方形面积的经验,发现平行四边形的面积与它的底和高之间的关联;最后,借助于等积变形,发现平行四边形的底、高与剪拼成的长方形的长、宽之间的对应相等关系,进而通过等量代换推导出平行四边形的面积计算方法。希尔伯特说:“尽管数学知识千差万别,我们仍然清楚地意识到,在作为整体的数学中,使用着相同的逻辑工具,存在着概念的亲缘关系。”平行四边形面积计算方法的推导经验,为三角形、梯形、圆形面积计算的相关探索提供了逻辑工具。

(三)在面积计算方法的运用中积累应用的经验

荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出:“数学来源于现实,存在于现实,并且应用于现实。”数学教师的重要任务就是帮助学生构造数学现实,并在此基础上发展他们的数学现实。史宁中教授认为:“智慧并不完全依赖知识的多少,而是依赖知识的运用,依赖经验,你只能让学生在实际操作中磨练。”从生活中抽象提炼出数学知识,借助旧知推导出新知,这是一个从感性到理性的认识过程,但是理性认识的不断加深、智慧的逐步生成却离不开实践和运用。因此,教师要引导学生用所学知识去解决实际问题,特别是一些充满生活情趣的数学问题,帮助学生积累数学应用的经验。

【案例3】《圆形的面积计算》生活应用

基础性应用:一个自动喷水器的最远喷水距离大约是4米。它旋转一周后喷灌的面积约有多少平方米?发展性应用:(1)你能测量1元硬币的相关数据算出它表面的面积吗?(2)学校门前有一棵大松树,你能想办法算出这棵树距离地面1米处的树干横截面的面积吗?综合性应用:刘大爷用15.7米的篱笆围一个圆形养鸡场,这个养鸡场的面积是多少平方米?如果用这些篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场,面积又是多少?想一想,王大爷还有可能怎么围,画出示意图并算出面积。这一过程给你什么启示?

上述案例中,教师设计了富有层次的练习:第一层次是圆形面积计算模型的直接套用,这是圆形面积计算方法的内化;第二层次是借助操作获得直径、周长的相关数据,通过适度转化计算出圆形面积,这是圆形面积计算方法的深化;第三层次是打破学生思维壁垒,引导学生发现在周长相同的情况下,围法不同而导致的面积大小的变化,这是圆形面积计算方法的活化。有趣的生活化素材,一方面丰富了学生对于圆形面积的认识,提高了学生解决实际问题的能力;另一方面可以使学生体验到数学与生活的密切联系,帮助学生积累应用的经验,增强数学学习的信心。

当然,“平面图形的面积计算”的教学探索只是基本数学活动经验积累的一个视角。对于个体性、内隐性很强的基本数学活动经验而言,任何机械化、片面化的教学实践,都是不恰当的和低效率的。教师理应把握儿童学习特点,采用多样的、富有成效的教学手段,帮助学生在探索数量关系、图形关系和随机关系的过程中积累基本数学活动经验。另外,学生基本数学活动经验是一个不断累积的过程,不可能毕其功于一役,教师必须立足于每一节数学课,捕捉每一个教学契机,促进学生基本数学活动经验的生长。

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