数学实验,特别是小学阶段的数学实验,主要是让学生通过具体观察、动手操作以及相应的讨论交流等形式,建立和验证猜想,进而获得结论、发现规律、解决问题的一种学习方式。本学期,笔者以“多边形的内角和”的教学为载体,开展了探究发现式实验的初步研究。
在设计的教学过程中,笔者从回忆三角形内角和开始,提出问题:多边形的内角和又是怎样的呢?由此引导学生展开相应的实验研究,从长方形到任意四边形,再到五边形、六边形……最后基于数据归纳出具有一般意义的结论。在课后的交流评议中,一位参与研讨的教师对课堂中“求五边形内角和”这一环节提出了不同看法,认为通过数学实验引导学生探索并发现规律的思路非常值得肯定,但数学实验不能一味“抄近路”,而要致力于引导学生基于基本的事理逻辑,充分展开自己的探索过程。这样的质疑,引发了笔者很多的思考。
【课堂回放】
在引导学生通过实验依次探究长方形和任意四边形的内角和之后,要求他们利用教师提供的五边形,进一步探究五边形的内角和。学生完成实验操作后,组织相应的展示和交流。
生:我用分的方法,把五边形分成3个三角形。这3个三角形的内角和合在一起是180×3=540°,所以五边形的内角和就是540°。
师:(出示图)这两位同学的分法不一样,把分出的三角形的内角和合在一起,还是540°吗?为什么?
生1:我觉得不是,因为这些三角形的内角与原来五边形的内角相比,多出了一些角。
生2:我觉得这样分也可以,可以先把分出的三角形的内角和合在一起,再从中去掉多出来的角。
师:你能看出哪些角是多出来的吗?
学生上台指明后,教师在“多出的角”上做相应的标记(如图4)。
师:比较上面的几种不同分法,你们更喜欢其中的哪一种?
生:我喜欢图1中的分法,因为这样分,不仅分的次数少,而且计算起来也很简单。
师:是的,我们在分多边形时,尽量不要有多出来的角。建议同学们就像图1这样,从一个顶点出发连续地分,这样比较简便、有序。
师:你会用这样的方法继续探究六边形、七边形、八边形的内角和吗?
……
探究发现式实验大多是贯穿与整个课堂的大实验,其思考探究的空间大、时间长、开放性强。实际教学时,常常会出现时间不够用的情况。在本片断中,为了使接下来的六边形、七边形、八边形内角和的探究既快又好,同时为了优化方法,我直接点明了“从一个顶点出发分”比较简便、有序,这一做法被有的教师认为是“抄了近路”。事实上,在强调了上述方法的便捷性之后,后面的探究过程显得十分顺畅,这就为分析实验数据、得出结论留出了更多的时间。
然而,正如有教师质疑的那样,这样“抄近路”的缺点也很明显:教学过程中学生的不同想法,没有得到充分的尊重,更没有去保护和加以利用,这无论是对于激发学生个体的学习兴趣,还是培养他们独立思考的习惯,都是不利的。再从整体上看,把全班“45个脑袋”变成“1个脑袋”,只用同一种方法去探究解决同一个问题,这无论对于培养学生的个性化思维还是创新意识,也都是不利的。
【课堂重构】
在学生按要求将五边形分成几个三角形,并尝试求出其内角和之后,同时呈现如上的图1、图2、图3等不同分法。
师:请看这几个同学的分法,他们都将五边形分成了三角形,可是为什么分出的三角形个数不一样呢?
生:因为图1是从一个顶点出发分的,图2是从底边上的一个点出发的,图3是从图形中间的一个点出发的。
师:根据图1的分法,可以怎样求五边形的内角和?
生:每个三角形的内角和是180°,3个三角形的内角和合在一起就是3个180°,180°×3=540°。
师:老师有点不明白——按照这样的思路,图2把五边形分成了4个三角形,图3把五边形分成了5个三角形,那么五边形的内角和也有可能是4个180°或5个180°喽?可这样一来,算出的结果又是互相矛盾的呀!
生:图2尽管把五边形分成了4个三角形,但三角形中的有些角不能算做五边形的内角。
师:哪些角不能算做五边形的内角?
学生上台指出图2中处于五边形边上的3个角,教师随机将这3个角做上相应的标记。
师:那么,图3分成的5个三角形中,又有哪些角不能算做五边形的内角呢?
有学生主动上台将图3中不能算做五边形内角的几个角分别标注了出来。
师:这样一来,根据图2的分法可以怎样求五边形的内角和?根据图3的分法呢?
生:根据图2的分法,五边形的内角和是180°×4-180°=540°;根据图3的分法,五边形的内角和是180°×5-360°=540°。
师:在“180°×4-180°=540°”这个算式中,作为减数的180°是图2中哪几个角的度数之和?这三个角的度数之和为什么是180°?
生:图2中不能算做五边形内角和的4个角正好组成了一个平角,所以它们的度数之和是180°。
师:在“180°×5-360°=540°”这个算式中,作为减数的360°又是图3中哪几个角的度数之和呢?
生:图3中不能算做五边形内角和的5个角正好组成了一个周角,所以它们的度数之和是360°。
师:是的,尽管大家采用的分法各不相同,但是殊途同归,都能求出五边形的内角和,所以都是可以的。相比较而言,你比较喜欢哪一种分法?
大部分学生表示喜欢图1中的分法。
师:为什么喜欢图1中的分法?能说说理由吗?
生:因为按照图1中的分法,算起来比较方便。
师:总结一下,图1中的分法有什么需要关注的特点?
生1:画图时要从五边形的一个顶点出发,依次连接和它相对的顶点。
生2:要使分出的几个三角形的内角和合在一起之后,正好等于五边形的内角和,不能多也不能少。
师:下面请同学们选择自己喜欢的方法继续研究六边形、七边形、八边形的内角和。
学生各自操作、计算、实验、研究。探究活动结束后,呈现如下表格。
多边形 |
边数 |
分成的三角形个数 |
内角和 |
三角形 |
3 |
|
180° |
四边形 |
4 |
2 |
180°×2 |
五边形 |
5 |
3 |
180°×3 |
六边形 |
6 |
4 |
180°×4 |
七边形 |
7 |
5 |
180°×5 |
八边形 |
8 |
6 |
180°×6 |
n边形 |
n |
|
|
师:根据表中的数据,既觉得计算多边形内角和的算式有什么共同特点?
生1:都是180°与一个数相乘的积。
生2:和180°相乘的数就是分成的三角形的个数。
师:分成的三角形的个数与多边形的边数又有什么关系?
生:分成的三角形的个数就等于多边形的边数再减去2。
师:照这样,当多边形的边数是n时,它的内角和可以怎样表示?
生:可以表示为(n-2)×180°。
师:老师还按照上面图3中的分法做了一张如下的表格。你能看懂表中的数据信息吗?
多边形 |
边数 |
分成的三角形个数 |
内角和 |
三角形 |
3 |
|
180° |
四边形 |
4 |
4 |
180°×4-360° |
五边形 |
5 |
5 |
180°×5-360° |
六边形 |
6 |
6 |
180°×6-360° |
七边形 |
7 |
7 |
180°×7-360° |
八边形 |
8 |
8 |
180°×8-360° |
n边形 |
n |
|
|
生:我看懂了,原来是几边形,就把它分成几个三角形;先用180°与分成的三角形的个数相乘,再从中减去不能算做多边形内角和的360°。
师:其他同学也看懂了吗?根据这个表中的数据,你觉得当多边形的边数是n时,它的内角和又可以怎样表示?
生:可以表示为n×180°-360°。
师:想一想,上面提到的(n-2)×180°和n×180°-360°,用它们算出来的结果会不会不一样?
生1:不会的,n×180°-360°中的360°正好是2个三角形的内角和,所以,算出的结果应该等于(n-2)×180°。
生2:根据乘法分配律,(n-2)×180°=n×180°-180°×2=n×180°-360°。
师:趋势如此,这两个式子尽管看上去不一样,但它们的本质其实是一样的。我们可以选择其中的任意一个计算多边形的内角和。
师:继续想一想,如果照着图2的分法开展研究,结果又会怎样呢?有兴趣的同学课后继续研究。
【教学反思】
在上述第一次教学中,笔者为了使探究规律的过程能够“短、平、快”,忽略了学生中出现的第二种分法(从一条边上分)和第三种分法(从图形的中间分)。其实,这两种分法的出现并不是偶然的。在笔者接触的多个班级中,无论是听课的班级,还是上课的班级,学生都会想到这两种分法。它们与第一种分法(从一个顶点出发分)并没有明显的繁简之分,只是“分的出发点”不同而已。而且这些分法对于探究多边形的内角和具有同等的价值。同时,这也是一个很好的可以让学生体会“尽管出发点不同,但是条条道路通罗马”的机会。并且,这其中还可以生成出更有价值的教学资源。即如,在第二次教学中,学生根据规律概括出了两个表示n边形内角和的式子:(n-2)×180°和n×180°-360°。笔者以此为资源,启发学生进一步思考:这两个式子的形式不一样,用它们算出的结果会不会不一样?引导学生从运算意义和运算律的角度,对这两个式子进行辨析,提升了规律探究的层次和品位。
通过这个课例,我深刻体会到:有时候,不恰当的优化,看似抄了近路,其实是关闭了学生学习数学的另一扇门;反之,多尊重学生的不同想法,多一些等待,看似绕了远路,其实是给学生的求异思维和创新意识打开了一扇窗。