三位数除以一位数是苏教版教材三年级上册第四单元的教学内容。从被除数的首位能否够除这个角度来看,三位数除以一位数的除法有两种情况:一种是被除数最高位上的数等于或大于除数,另一种是被除数最高位上的数小于除数。显然,后一种情况是教学中的难点。之所以这样说,主要有两个原因:一是学生此前学习的除法笔算都是从最高位开始一位一位往下除的,而且商的位数和被除数的位数也都是一致的----这会给新知的学习带来一定的负面影响;二是当学生用被除数前两位上的数去除以一位数时,得到的商何为余数不再是若干个“一”,而是若干个“十”,理解这一点也有一定的难度。为了帮助学生突破上述认知难点,教材采用了“先估算,再笔算,最后进行验算”的教学思路。实际教学时,要在准确理解教材编写意图的基础上,充分发挥不同计算方式的作用,着力引导学生主动探索并理解相应的计算原理和方法。下面,笔者结合自身的教学实践说一些具体的做法和想法。
片断1:从够除到不够除
出示问题:三年级312名学生分2批参加长跑训练。平均每批有多少人?
师:要求平均每批有多少人,可以列出怎样的算式?
生:要求平均每批有多少人,就要把312名学生平均分成2份,列式为312÷2。
师:谁能先估算一下,312÷2的商大约是多少?
生1:把3个百平均分成2份,每份是一百多。所以312÷2的商大约是一百多一些。
生2:如果把3个百平均分成2份,每份是一百多;如果把4个百平均分成2份,每份正好是2个百;由于312大于300,小于400,所以312÷2的商应该是一百多。
师:这个同学从商最少是多少、最多是多少,确认312÷2的商应该是一百多,思考过程很有数学味。值得点赞!那么这题的商究竟是多少呢?能用竖式算出它的结果吗?
学生各自用竖式计算后,组织交流。
师:用竖式计算的结果是多少?这个结果与刚才的估算一致吗?
生:用竖式计算的结果是156,这个结果与刚才的估算是一致的。
师:是的,我们在用计算解决实际问题时,要注意将不同计算方式有机结合,这样不仅能提高计算结果的合理性,而且还能锻炼思考能力。
出示问题:三年级312名学生分4批参加游泳训练。平均每批有多少人?
师:解决这个问题,可以怎样列式?
生:要解决这个问题,就要把312人平均分成4份,列式为312÷4。
师:现在还能估算这道题的商大约是多少吗?
生:把3个百平均分成4份,每份不足一个百,说明312÷4的商比100还要小,应该是一个两位数。
师:为什么不会是一位数?
生:假如商是一位数的话,它和4相乘的积最多是36,不可能是三位数。
师:商有没有可能正好是100?
生:不可能。因为把4个百平均分成4份,每份正好是1个百;而312小于400,所以312÷4的商一定小于100。
师:既然如此,你能算出这题的商究竟是多少吗?试着动笔算一算!
学生各自按要求进行计算,但同时不少学生显得不知所措,犹豫着迟迟不愿意动笔。
【思考】考虑到学生在计算三位数除以一位数时从未遇见过“首位不够除”的情形,上面的教学通过创设相互关联的问题情境,首先引导学生结合解决问题的过程回顾首位够除的三位数除以一位数的估算和笔算方法,并由此十分自然地引出新的计算问题。在交流首位够除的三位数除以一位数的估算和笔算方法时,重点突出估算的思考过程,强调估算时不仅要注意初步把握结果大约是多少,而且还要适当注意结果“最多是多少”以及“最少是多少”。这样就能为学生在面临新的计算问题时更加合理地进行估算打下良好的基础。在出示新的计算问题之后,先着力引导学生联系此前的经验进行估算,在估算中初步确认“312÷4的商比100还要小,应该是一个两位数”。由此,鼓励他们主动尝试算出312÷4的准确结果,并使计算过程中的关键问题凸显出来。这样,进一步的探究活动也就能够合乎逻辑地展开了。
片断2:从不同算法到竖式计算
师:老师发现,不少同学迟迟没有动笔,是不是遇到困难了?
生:是的,被除数的百位上是“3”,但除数是“4”,3除以4不好除。
师:这确实是一个新的问题。不过,既然笔算有困难,能不能先想其他办法算出得数呢?
听到这样的要求之后,学生纷纷交头接耳地议论起来。
师:比如,能不能先把312分成两个数,用这两个数分别去除以4?
不待教师继续要求,学生纷纷开始埋头计算。稍后,就有学生兴奋地举手示意。
生1:我先把312分成240+72,然后用240和72分别去除以4,240÷4=60,72÷4=18,60+18=78。
生2:我先把312分成280+32,然后用280和32分别去除以4,280÷4=70,32÷4=8,70+8=78。
师:同学们想到的方法非常棒!其实用竖式计算除法时,也要先把被除数分成几个数相加,再用它们分别除以除数。继续想一想,用竖式计算312÷4时,除了先用“3个百”除以4,还能把312怎样重新分一分吗?
生1:我在想,是不是可以把312分成310和2,先算310除以4呢?
生2:可是310除以4还是不好除呀!
师:310除以4不好除,但是“31”除以4好除吗?
生:31除以4等于7余3。
师:不过,这里的“31”表示的是31个----
生:(齐)十!
师:31个十除以4的结果是----
生:商是7个十,余数是3个十。
师:为什么“商是7个十,余数是3个十”?
生:把31捆小棒平均分成4份,每份有7捆,还余3捆。所以31个十除以4的结果商是7个十,还余3个十。
师:现在大家会用竖式进行计算了吗?再试一试!
学生各自完成竖式计算后,出示完整的竖式计算过程,并组织交流。
师:用竖式计算312÷4时,第一步算的是什么?
生:第一步我是用“31”除以4,商7余4。
师:“7”写在了商的哪一位上面?
生:“7”写在了商的十位上面。
师:这里的“7”为什么要写在商的十位上面?
生:因为这里算出来的“7”表示的是7个十。
师:余下的3个十怎么办?
生:余下的3个十和被除数个位上的2合起来,变成32。32除以4,商是8,8要写在商的个位上。
师:用竖式计算的结果与前面不同方法算出的结果一样吗?
生:完全一样!而且与前面估算的结果也是相符的。
师:如果要想进一步确认这个结果,知道该怎样验算吗?
……
【思考】学生用竖式计算首位不够除的三位数除以一位数时,首先面临的难题就是“被除数的百位上是‘3’,但除数是‘4’,3除以4不好除”。这是学生理解并掌握本节课计算方法的基本问题,更是核心问题。对待这个问题,有两种不同的处理方法:一是直接告诉学生“因为被除数的首位不够除,可以用前两位上的数,也就是‘31’去除以一位数”;二是像上面这样,先引导学生基于基本的计算原理去解决问题,再启发他们联系探索经验进一步理解相关笔算方法的道理和具体操作程序。显然,后一种做法不仅有助于学生更加透彻地理解笔算的道理和方法,而且有助于他们体会不同计算方式的作用和价值,积累探索学习的经验,发展探索学习的能力。
片断3:从具体算法到一般规则
出示教材“想想做做”第1题:
师:你能独立完成上面几道题的计算过程吗?请同学们先算一算,再填一填。
学生各自完成计算和填空后,继续组织交流。
师:这几题的竖式计算过程有什么共同的特点?
生:这几题被除数的百位上都不够除,第一步都要用被除数的前两位上的数去除以一位数。
师:用被除数前两位上的数去除以一位数,得到的商要写在商的哪一位上面?
生:用被除数前两位上的数去除以一位数,得到的商要写在商的十位上面。
师:为什么要写在商的十位上面?
生:因为被除数的前两位上的数表示的都是若干个十,若干个十除以一位数得到的商当然就是几个十。
师:回顾一下我们曾经学过的三位数除以一位数的笔算,你觉得笔算三位数除以一位数时,需要注意些什么?请大家在小组例讨论讨论。
学生分组讨论后,组织交流。
生:如果被除数百位上的数等于或大于一位数,就用被除数百位上的数去除以一位数;如果被除数百位上的数小于一位数,就要先用被除数前两位上的数去除以一位数。
师:你的意思是说,笔算三位数除以一位数时,都要从高位开始一位一位地往下除。只不过,如果被除数的最高位上不够除,就用前两位上的数去除,是吗?
生:是的。
师:每次除得的商分别要写在哪里?
生1:得到的商是几个百就写在百位上,得到的商是几个十就写在十位上,得到的商是几个一就写在个位上。
生2:简单地说,就是除到哪一位,商就写在那一位的上面。
师:还有一个问题,每次除得的余数又有什么共同特点?
生:每次除得的余数都要比除数小。
师:用竖式计算三位数除以一位数时,通常要注意三点,一是除的顺序,二是商的位置,三是余数的处理。
【思考】在完成例题的教学之后,为了帮助学生进一步巩固刚刚学习的计算方法,同时为接下来归纳和总结三位数除以一位数的笔算方法积累更多的感性认识,要求学生先各自完成教材“想想做做”的第1题。通过练习进一步突出:当被除数首位不够除时,就要用被除数前两位上的数去除以一位数;同时由于除得的商表示的是几个十,所以应该写在商的十位上。在此基础上,引导学生回顾曾经学过的三位数除以一位数的笔算,说说笔算三位数除以一位数时,需要注意些什么,侧重启发他们从除的顺序、商的位置以及余数的处理这三个方面进行初步的概括。这样教学,不仅能使学生原有的计算经验得到适度提升,而且有助于培养他们的抽象概括能力,增强规则意识,发展数学思考。